初二下册数学视频

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填空题：
1．________________________统称为整式．
2．表示_______÷______的商，那么（ 2a+b）÷（m+n）可以表示为________．
3．甲种水果每千克价格a元，乙种水果每千克价格b元，取甲种水果m千克，乙种水果n千克，混合后，平均每千克价格是_________．
4．下列各式，， x+y，，−3x2，0中，是分式的有___________；是整式的有___________；是有理式的有_________．
5．当x______时，分式无意义．
6．当x_______时，分式的值为零．
7．当x______时，分式的值为1；当x_______时，分式的值为−1．
8．分式，当x_______时，分式有意义；当x_______时，分式的值为零．
9．当x_______时，分式的值为正；当x______时，分式的值为负．
10．若把x克食盐溶入b克水中，从其中取出m克食盐溶液，其中含纯盐________．
11．李丽从家到学校的路程为s，无风时她以平均a米/秒的速度骑车，便能按时到达，当风速为b米/秒时，她若顶风按时到校，请用代数式表示她必须提前_______出发．
12．永信瓶盖厂加工一批瓶盖，甲组与乙组合作需要a天完成，若甲组单独完成需要b天，乙组单独完成需_______天．
13．当m=________时，分式的值为零．
选择题：
14．下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是（）
A． B． C． D．
15．有理式① ，② ，③ ，④ 中，是分式的有（）
A．①② B．③④ C．①③ D．①②③④
16．分式中，当x=-a时，下列结论正确的是（）
A．分式的值为零； B．分式无意义
C．若a≠− 时，分式的值为零； D．若a≠ 时，分式的值为零
wGO5 17．下列各式中，可能取值为零的是（）
A． B． C． D．
18．使分式无意义，x的取值是（）
A．0 B． 1 C．−1 D．±1
解答题：
19．下列分式，当x取何值时有意义．
（1）；（2）．
20．已知y= ，x取哪些值时：（1）y的值是正数；（2）y的值是负数；（3）y的值是零；（4）分式无意义．
21．若分式 −1的值是正数、负数、0时，求x的取值范围．

典型例题
例题：
1．ΔABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，在下列条件中，能够判定ΔABC是直角三角形的个数是( )
①a2+c2 = b2
②∠A：∠B：∠C = 1：2：3
③a：b：c = ：1：1
④∠A：∠B：∠C = 3：4：5
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
答案：B
说明：利用勾股定理逆定理很容易得出①正确；当∠A：∠B：∠C = 1：2：3时，由三角形内角和为180º，不难得出∠C为90º，ΔABC是直角三角形，②正确；当a：b：c = ：1：1，可设b = c = k，则a = k，此时b2+c2 = 2k2 = a2，ΔABC为直角三角形，③正确；当∠A：∠B：∠C = 3：4：5时，不难计算出∠A = 45º，∠B = 60º，∠C = 75º，此时ΔABC不是直角三角形，④错；所以答案为B．
2．分别以下列a、b、c为边的三角形是直角三角形的有( )
①a = ，b = ，c =
②a = ，b = 25，c = 24
③a：b：c = 4：5：3
④a = m2−n2(m>n)，b = 2mn，c = m2+n2
⑤a = ，b = ，c =
A．①②③④ B．①③⑤ C．②③④ D．①③④⑤
答案：D
说明：①满足b2+c2 = a2，是直角三角形；②a2 = 7，b2 = 625，c2 = 576，b边最长，但不满足a2+c2 = b2，所以不是直角三角形；③可设a = 4k，b = 5k，c = 3k，则有a2+c2 = 25k2 = b2，是直角三角形；④a2 = m4−2m2n2+n4，b2 = 4m2n2，c2 = m4+2m2n2+n4，满足a2+b2 = c2，是直角三角形；⑤a2 = ，b2 = ，c2 = ，满足a2+b2 = c2，是直角三角形；所以答案为D．
3．如图，已知ΔABC中，∠C = 90º，CD⊥AB于点D，设AC = b，BC = a，AB = c，CD = h；求证：①c+h>a+b；②以a+b、h、c+h为边的三角形是直角三角形．
证明：要证c+h>a+b．根据“要证A>B即证A−B>0”．在Rt△ACB中有c>a、c>b的不等关系，因此考虑将h用含a、b、c的代数式表示，由S△ABC = ab = ch得h = ．即证(c+ )−(a+b)>0．利用代数中的相关知识及c>a、c>b加以证明．
①∵∠C = 90º，CD⊥AB
∴S△ABC = ab = ch
∴h = (利用三角形面积公式得出等量关系)
∴(c+h)−(a+b)
= (c+ )−(a+b)
=
= (利用因式分解中的分组分解法，将式子转化为积的形式)
=
∵c>a>0，c>b>0 (直角三角形的斜边大于直角边)
∴ >0
∴(c+h)−(a+b)>0
∴c+h>a+b
②∵c+h>a+b，c+h>h，a2+b2 = c2，ab = ch
∴(a+b)2+h2 = a2+b2+2ab+h2 = c2+2ch+h2 = (c+h)2
∴以a+b，h，c+h为边的△是直角三角形，且c+h是斜边．
4．如图，已知等腰ΔABC底边BC = 20，D是AB上一点，且CD = 16，BD = 12；求ΔABC的周长．
解：由△BDC的三边的长12、16、20是一组勾股数，得出∠BDC = 90º，则△ADC是Rt△．设AC的长为x，则AD = x−12，由勾股定理得(x−12)2+162 = x2解出x的值，从而求解．
∵BD = 12，CD = 16，BC = 20，
∴BD2+CD2 = 122+162 = 400，BC2 = 400，
∴BD2+CD2 = BC2
∴∠BDC = 90º，∴△ADC为Rt△，
给你一些数学题吧，不过没图，请你原谅！习题精选
1．判断题
⑴在一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角是直角．
⑵命题：“在一个三角形中，有一个角是30º，那么它所对的边是另一边的一半．”的逆命题是真命题．
⑶勾股定理的逆定理是：如果两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
⑷△ABC的三边之比是1：1：，则△ABC是直角三角形．
答案：对，错，错，对；
2．△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（）
A．如果∠C－∠B=∠A，则△ABC是直角三角形．
B．如果c2= b2—a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°．
C．如果（c＋a）（c－a）=b2，则△ABC是直角三角形．
D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形．
答案：D
3．下列四条线段不能组成直角三角形的是（）
A．a=8，b=15，c=17
B．a=9，b=12，c=15
C．a= ，b= ，c=
D．a：b：c=2：3：4
答案：D
4．已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？
⑴a= ，b= ，c= ； ⑵a=5，b=7，c=9；
⑶a=2，b= ，c= ； ⑷a=5，b= ，c=1．
答案：⑴是，∠B；⑵不是；⑶是，∠C；⑷是，∠A．
5．叙述下列命题的逆命题，并判断逆命题是否正确．
⑴如果a3＞0，那么a2＞0；
⑵如果三角形有一个角小于90°，那么这个三角形是锐角三角形；
⑶如果两个三角形全等，那么它们的对应角相等；
⑷关于某条直线对称的两条线段一定相等．
答案：⑴如果a2＞0，那么a3＞0；假命题．
⑵如果三角形是锐角三角形，那么有一个角是锐角；真命题．
⑶如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等；假命题．
⑷两条相等的线段一定关于某条直线对称；假命题．
6．填空题．
⑴任何一个命题都有，但任何一个定理未必都有．
⑵“两直线平行，内错角相等．”的逆定理是．
⑶在△ABC中，若a2=b2－c2，则△ABC是三角形，是直角；若a2＜b2－c2，则∠B是．
⑷若在△ABC中，a=m2－n2，b=2mn，c= m2＋n2，则△ABC是三角形．
答案：⑴逆命题，逆定理；⑵内错角相等，两直线平行；⑶直角，∠B，钝角；⑷直角．
⑸小强在操场上向东走 80m后，又走了 60m，再走 100m回到原地．小强在操场上向东走了 80m后，又走 60m的方向是．
答案：向正南或正北．
7．若三角形的三边是 ⑴1、、2； ⑵ ； ⑶32，42，52 ⑷9，40，41；
⑸(m+n)2－1，2(m+n)，(m+n)2+1；则构成的是直角三角形的有（）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
答案：B
8．若△ABC的三边a、b、c，满足(a－b)(a2＋b2－c2) =0，则△ABC是（）
A．等腰三角形；
B．直角三角形；
C．等腰三角形或直角三角形；
D．等腰直角三角形．
答案：C

9．如图，在操场上竖直立着一根长为 2米的测影竿CD，早晨测得它的影长BD为 4米，中午测得它的影长AD为 1米，则A、B、C三点能否构成直角三角形？为什么？
答案：能，因为BC2=BD2+CD2=20，AC2=AD2+CD2=5，AB2=25，所以BC2+AC2= AB2
10．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40°，问：甲巡逻艇的航向？
答案：由△ABC是直角三角形，可知∠CAB+∠CBA=90°，所以有∠CAB=40°，航向为北偏东50°．
11．如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量．小明找了一卷米尺，测得AB= 4米，BC= 3米，CD= 13米，DA=12米，又已知∠B=90º．
提示：连结AC．AC2=AB2+BC2=25，AC2+AD2=CD2，因此∠CAB=90º，
S四边形=S△ADC+S△ABC=36平方米．
12．已知：在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，且CD2=AD•BD．求证：△ABC中是直角三角形．
提示：∵AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2，∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2=
AD2+2AD•BD+BD2=（AD+BD）2=AB2，∴∠ACB=90°．
13．在△ABC中，AB= 13cm，AC= 24cm，中线BD= 5cm．求证：△ABC是等腰三角形．
提示：因为AD2+BD2=AB2，所以AD⊥BD，根据线段垂直平分线的判定可知AB=BC．
14．已知：如图，∠1=∠2，AD=AE，D为BC上一点，且BD=DC，AC2=AE2+CE2．求证：AB2=AE2+CE2．
提示：有AC2=AE2+CE2得∠E=90°；由△ADC≌△AEC，得AD=AE，CD=CE，∠ADC=∠BE=90°，根据线段垂直平分线的判定可知AB=AC，则AB2=AE2+CE2．
15．已知△ABC的三边为a、b、c，且a+b=4，ab=1，c= ，试判定△ABC的形状．
提示：直角三角形，用代数方法证明，因为（a+b）2=16，a2+2ab+b2=16，ab=1，所以a2+b2=14．又因为c2=14，所以a2+b2=c2 ．

习题精选
1．判断题
⑴在一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角是直角．
⑵命题：“在一个三角形中，有一个角是30º，那么它所对的边是另一边的一半．”的逆命题是真命题．
⑶勾股定理的逆定理是：如果两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
⑷△ABC的三边之比是1：1：，则△ABC是直角三角形．
答案：对，错，错，对；
2．△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（）
A．如果∠C－∠B=∠A，则△ABC是直角三角形．
B．如果c2= b2—a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°．
C．如果（c＋a）（c－a）=b2，则△ABC是直角三角形．
D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形．
答案：D
3．下列四条线段不能组成直角三角形的是（）
A．a=8，b=15，c=17
B．a=9，b=12，c=15
C．a= ，b= ，c=
D．a：b：c=2：3：4
答案：D
4．已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？
⑴a= ，b= ，c= ； ⑵a=5，b=7，c=9；
⑶a=2，b= ，c= ； ⑷a=5，b= ，c=1．
答案：⑴是，∠B；⑵不是；⑶是，∠C；⑷是，∠A．
5．叙述下列命题的逆命题，并判断逆命题是否正确．
⑴如果a3＞0，那么a2＞0；
⑵如果三角形有一个角小于90°，那么这个三角形是锐角三角形；
⑶如果两个三角形全等，那么它们的对应角相等；
⑷关于某条直线对称的两条线段一定相等．
答案：⑴如果a2＞0，那么a3＞0；假命题．
⑵如果三角形是锐角三角形，那么有一个角是锐角；真命题．
⑶如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等；假命题．
⑷两条相等的线段一定关于某条直线对称；假命题．
6．填空题．
⑴任何一个命题都有，但任何一个定理未必都有．
⑵“两直线平行，内错角相等．”的逆定理是．
⑶在△ABC中，若a2=b2－c2，则△ABC是三角形，是直角；若a2＜b2－c2，则∠B是．
⑷若在△ABC中，a=m2－n2，b=2mn，c= m2＋n2，则△ABC是三角形．
答案：⑴逆命题，逆定理；⑵内错角相等，两直线平行；⑶直角，∠B，钝角；⑷直角．
⑸小强在操场上向东走 80m后，又走了 60m，再走 100m回到原地．小强在操场上向东走了 80m后，又走 60m的方向是．
答案：向正南或正北．
7．若三角形的三边是 ⑴1、、2； ⑵ ； ⑶32，42，52 ⑷9，40，41；
⑸(m+n)2－1，2(m+n)，(m+n)2+1；则构成的是直角三角形的有（）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
答案：B
8．若△ABC的三边a、b、c，满足(a－b)(a2＋b2－c2) =0，则△ABC是（）
A．等腰三角形；
B．直角三角形；
C．等腰三角形或直角三角形；
D．等腰直角三角形．
答案：C

9．如图，在操场上竖直立着一根长为 2米的测影竿CD，早晨测得它的影长BD为 4米，中午测得它的影长AD为 1米，则A、B、C三点能否构成直角三角形？为什么？
答案：能，因为BC2=BD2+CD2=20，AC2=AD2+CD2=5，AB2=25，所以BC2+AC2= AB2
10．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40°，问：甲巡逻艇的航向？
答案：由△ABC是直角三角形，可知∠CAB+∠CBA=90°，所以有∠CAB=40°，航向为北偏东50°．
11．如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量．小明找了一卷米尺，测得AB= 4米，BC= 3米，CD= 13米，DA=12米，又已知∠B=90º．
提示：连结AC．AC2=AB2+BC2=25，AC2+AD2=CD2，因此∠CAB=90º，
S四边形=S△ADC+S△ABC=36平方米．
12．已知：在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，且CD2=AD•BD．求证：△ABC中是直角三角形．
提示：∵AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2，∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2=
AD2+2AD•BD+BD2=（AD+BD）2=AB2，∴∠ACB=90°．
13．在△ABC中，AB= 13cm，AC= 24cm，中线BD= 5cm．求证：△ABC是等腰三角形．
提示：因为AD2+BD2=AB2，所以AD⊥BD，根据线段垂直平分线的判定可知AB=BC．
14．已知：如图，∠1=∠2，AD=AE，D为BC上一点，且BD=DC，AC2=AE2+CE2．求证：AB2=AE2+CE2．
提示：有AC2=AE2+CE2得∠E=90°；由△ADC≌△AEC，得AD=AE，CD=CE，∠ADC=∠BE=90°，根据线段垂直平分线的判定可知AB=AC，则AB2=AE2+CE2．
15．已知△ABC的三边为a、b、c，且a+b=4，ab=1，c= ，试判定△ABC的形状．
提示：直角三角形，用代数方法证明，因为（a+b）2=16，a2+2ab+b2=16，ab=1，所以a2+b2=14．又因为c2=14，所以a2+b2=c2 ．

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