曲率是什么，曲线曲率是什么

是图腾，是剪影，是萌芽……，到访亨利庞加莱研究所图书馆的客人们在Kuen曲面前惊叹不已，思如泉涌。于是对藏品参观者来说，先听取他们的想法，再解释这个古旧木质模型表示的是常曲率曲面（的一部分），不失为一件乐事。

每个人都理解平面或球面总是以同样的方式弯曲，每个数学初心者最终都会承认伪球面——Kuen曲面在玻璃橱柜里的邻居——同样具备这条性质，但是对Kuen曲面能够直观地觉察到这一点的人很罕见。这个雕凿过甚的，“奇异”的曲面，怎么会是常曲率呢？为了理解这一点，我们必须引入若干概念，尤其是几种曲率概念。

首先约定一下数学框架：本文中考虑的几何学称为微分几何（与其他种类的几何学相对，例如多面体的组合几何或者在曲面上画直线的代数几何）；此处关心的是如何定义曲面的度量性质：切触（译注：严格地说，切触不是度量性质。我需要向作者询问为何提到这一点。），长度与曲率。技术上讲，必须假定曲面充分光滑（也即定义方程与其他参数化可以求足够多次导数以保证能够在这个曲面上做微积分）。首位切实灌溉了这片园地的数学家是那位无法回避的卡尔·弗里德里希·高斯(1777-1855)。但许多主要进展要归功于伯恩哈德·黎曼(1826-1866)，以至于有黎曼几何学的说法。自1850年起，意大利几何学派提供了大量曲面及相关性质的例子，其中几例我们将在文末引用。因而本文将把时间轴游标稳固地放在19世纪。

在投入理解曲面曲率的探索之前，从描述平面曲线这一更简单情形开始也许是有启发性的。为了刻画曲线在其上一点的邻域内的样态，我们从画切线开始，如果存在切线，那么它就是在附近最接近曲线的直线。这个一阶近似提供了这条曲线的有限信息，如果我们找到那个在附近最贴近的唯一的圆，那就能得到更精细的近似。这个圆，汉语中称为“密切圆”，法语称为“osculateur”，来自于拉丁语的osculatio，意为亲吻。密切圆显示了曲线的弯曲方式。如果这个圆很大，那么这个圆在附近的部分看上去就很平，从而所研究的曲线在的附近也就很平；反之，一个很小的半径就意味着哪怕在很小的尺度上也有一段肉眼可见的很弯的弧。在这个直观意义下，曲率与密切圆的半径成反比。于是，为了更定量化的看问题，我们引入密切圆半径的倒数：平面曲线在点处的曲率就等于这个量，至多相差一个符号（这个符号表明我们弯向一侧还是另一侧）。如果所研究的平面曲线本身就是圆，那么其上每个点的曲率都等于圆的半径的倒数；直线的曲率处处为零；绝大多数曲线的曲率随着其上点的移动而变化。

图2：这张图展示了一条曲线（黑色）及其上两个不同点处的密切圆（红色）。

借助于有效的解析计算方法（这里隐藏着导数与微分，微分几何的名称由此而来），曲率概念的这一直观导引当然可以得到更严格的表述。在这个更精确的框架下，可以发现与运动学的联系，并且可以证明曲率正对应于沿着曲线运动的动点的角速度（译注：此处假定动点的速率为1）。我们也可以从法线相对于切线选定的定向来理解曲率的符号。

回到三维空间中的曲面。如上段中的曲线情形一样，我们要在其上一点的邻域内研究曲面。这次的一阶近似，如果存在的话，是过的一个平面，称为切平面。经过点且垂直于这个平面的直线，自然就称为曲面在点处的法线。为了更好地理解曲面在的邻域内的“扭曲”方式，我们从研究曲面上过点的曲线开始；更精确地说，我们用包含法线的平面去截曲面，对于每一条如此得到的曲线，都重复一次之前做过的平面曲线研究。如此这般，对于这个平面束中的每个平面， 与这个平面的交线在点处都有一个曲率的数值与之对应。乍看上去这族数有点不好处理，因此我们情愿限制在两个最值上：这族数中的最小值与最大值称为曲面在点处的主曲率。与曲线的情况一样，还是有更精确的方式来引入这些值，但方法远非初等；我们引用一条严格的定义来感受一下难度：曲面在点处的主曲率是与在处的第二基本（二次）形式对应的对称自同态的特征值。读到了这句话，您一定理解，更明智的做法是先从大学教材的汪洋大海中取一册来参阅，读懂这里引用的所有数学概念的定义，然后再来读这些观念的严格阐述。不过在您去找这么一本手册之前，让我们回到图书馆中的例子，继续我们对曲率的初等召唤（译注：作者此处用了évocation一词，似乎在召唤神龙）。

在通常球面的例子里，在球面上一点处所考虑平面与球面的交线全部是过的大圆，每个大圆在处的曲率总是一样的，等于大圆半径的倒数，也就是球面半径的倒数。两个主曲率也就相等，是个严格为正的常数。仍然由于球面伟大的对称性，可见主曲率的取值处处相等，与在球面上考虑哪一点无关。如果把球面形变一点点，拉长成一个椭球面，那么两个主曲率仍然处处为正，但是取值会随所考虑的点与椭球顶点的接近程度而改变。

图3：左侧椭球面，右侧双曲抛物面

对于诨名“马鞍”的双曲抛物面来说，可以看到迥然不同的现象：两个主曲率随着点的移动而改变，但总是取相反的符号（一个取正号，另一个取负号）。让我们在马鞍的“中心”稍息。为了简单起见，把马鞍安放在马背上（这匹马帮助我们在空间中定位）。所考虑的点就是当我们想坐稳马鞍时要对准的那一点；如果马站在平地上，那么点处的法线是铅直的。包含马的轴线的铅直平面将马鞍截出一条向上翘的曲线；与这个铅直平面正交的另一个铅直平面（经过马镫的那个）给出一条向下弯的截交线：在这种情况下，两个主曲率取不同的符号，因为有两个方向上的曲率是相反的。

为了更简明起见，有时把两个主曲率代之以更简单但没那么明显的指标：例如两个主曲率的平均值称为平均曲率（因此在形式化框架里，这个指标是前述自同态的迹）；两个主曲率的乘积称为高斯曲率（这次是那个自同态的行列式）。在Kuen曲面的情形，我们感兴趣的正是高斯曲率。文首提到的性质可以重述为：在Kuen曲面上的所有点处高斯曲率都等于同一个负值；既具有球面的性质（高斯曲率在有定义的地方处处相等）又具有马鞍面的性质（高斯曲率严格为负）；一边想象着这两条性质的结合一边凝视着这张曲面，这难道不奇妙吗？

当然，这并不是具备这条性质的仅有的曲面；也有其他模型表示常负高斯曲率曲面：Dini螺旋曲面与伪球面。面如其名，Dini螺旋曲面是Ulisse Dini (1845-1918)引入的，可以通过一条初等曲线——曳物线——的“螺旋运动”而得到。

这条简单的曲线同样可以生成伪球面，但这次是围绕着定轴旋转。于是可以说伪球面——Eugenio Beltrami (1835-1900)为之定名，但在定名之前已经被研究很久了——是个旋转面；用任意水平面去截这个曲面，每个截交线都是圆（假定中心轴线是垂直的）。

（译注：不难看到Kuen曲面、Dini螺旋曲面与伪球面这些常负曲率曲面的模型都有锋利的边缘，也就是说这些模型上都存在无穷多个无法定义曲率的奇点，这是由于希尔伯特证明的一条定理说完备的双曲平面不可能等距嵌入到三维欧氏空间中。南斯拉夫数学家Danilo Blanu?a于1955年给出了完备双曲平面到六维欧氏空间中的等距嵌入，也就是说在六维欧氏空间中已经可以构造出与Kuen曲面、Dini螺旋曲面、伪球面类似的常负曲率曲面，但是性质更好一些，完全光滑，没有奇点。似乎到目前为止我们还不知道是否存在到四维或五维欧氏空间中的等距嵌入。）

图7：Danilo Blanu?a (1903-1987)

尽管就高斯曲率而言这些曲面有着共同性质，可很难说所有这些曲面彼此类似。数学家们寻求重新从方程出发来解释这些共同点。Luigi Bianchi (1856-1928)就是这么做的，他描述了如何使用一个保持曲率的几何变换从伪球面变到Kuen曲面：如此一来，对于伪球面上的每个点，都有Kuen曲面上的唯一一点与之对应，并且对应两点处的高斯曲率相等，反之亦然。计算是躲不过的，可这些计算过程只能让诗人气质的访客退避三舍。这个任务就留给职业几何学家们吧。让我们继续赞叹其他同样令人惊奇的模型、曲面、数学性质……

【注】本文译自亨利庞加莱研究所编著的Objets mathématiques一书中的篇目Courbure constante，作者是巴黎著名的数学教师Roger Mansuy。