知识点：《独立》 收集：罗占贸 编辑：紫罗兰君
本知识点包括：1、什么是独立悬挂？ 2、什么是独立人格 3、关于自立的格言 4、什么是独立法人企业 5、独立卫浴是什么 。
《独立》相关知识
A,B,C两两独立不一定相互独立,相互独立一定两两独立
知识拓展：
1：【若事件A,B,C两两独立,则A,B,C互相独立,对吗】
知识要点归纳：
这有个经典反例.
设一个概率空间有4个基本事件①,②,③,④,概率都是1/4 (比如设想一个正四面体的骰子).
取事件A = {①,②},B = {②,③},C = {①,③}.
则P(A) = P(B) = P(C) = 1/2.
而P(AB) = P(②) = 1/4 = P(A)P(B),故A,B独立.
同理,可验证B,C独立,A,C也独立,即A,B,C两两独立.
然而P(ABC) = 0 ≠ P(A)P(B)P(C),因此A,B,C不是互相独立的.
2：【A,B,C,两两相互独立,则P(A+B+C)=a,b,c两两相互独立。abc=空集。Pa=Pb=Pc】
知识要点归纳：
如果A、B、C事件分别两两独立,则P（A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)
∵ a,b,c两两相互独立.且P(A∩B∩C)=∅.Pa=Pb=Pc
3：设A,B,C两两独立,且A与B∪C独立,证明：A,B,C相互独立
知识要点归纳：
要证A,B,C相互独立,因为A,B,C两两独立,所以只需证明P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
已知两两独立,即P(AB)=P(A)P(B); P(AC)=P(A)P(C); P(BC)=P(B)P(C)
已知A与B∪C独立,即P(A(B∪C))=P(A)P(B∪C).①
因为P(B∪C)=P(B)+P(C)-P(BC)
=P(B)+P(C)-P(B)P(C)
所以有P(A)P(B∪C)=P(A)P(B)+P(A)P(C)-P(A)P(B)P(C).②
又P(A(B∪C))=P(AB∪AC)
=P(AB)+P(AC)-P(ABC) .③
所以联立①②③可得
P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
从而A,B,C相互独立!
4：若事件A与B相互独立,事件B与C相互独立,事件C与A相互独立,则A、B、C、是否相互独立?
知识要点归纳：
否,A、B、C、不是相互独立的（详见伯恩斯坦反例）.A与B相互独立,B与C相互独立,C与A相互独立并且P(ABC)=P(A)P(B)P(C),则A、B、C相互独立.
5：设A，B，C三个事件两两独立，则A，B，C相互独立的充分必要条件是（）A.A与BC独立B.AB与A∪C独立C.AB与AC独立D.A∪B与A∪C独立
知识要点归纳：
A、B、C事件相互独立等价于：
P（ABC）=p（A）P（BC）=p（B）P（AC）=P（C）P（AB）=P（A）P（B）P（C）； （1）
A、B、C事件两两独立等价于：
P（AB）=P（A）P（B），P（BC）=P（B）P（C），P（AC）=P（A）P（C）； （2）
必要性：证明A、B、C事件相互独立可以推出两两独立，即证明（1）?（2）．
因为：A、B、C事件相互独立：
所以有：P（AB）=P（A）P（B），P（BC）=P（B）P（C），P（AC）=P（A）P（C）；
故必要性成立．
充分性：证明A、B、C事件两两独立可以推出两两独立，即证明（2）?（1）．
因为：A、B、C事件两两独立：
所以：P（AB）=P（A）P（B），P（BC）=P（B）P（C），P（AC）=P（A）P（C）；
而：A、B、C三事件相互独立需要满足：P（ABC）=p（A）P（BC）=p（B）P（AC）=P（C）P（AB）=P（A）P（B）P（C）；
因此需要增加一条件使得P（ABC）=P（A）P（B）P（C）；
A选项：A与BC独立：即P（A（BC））=P（A）P（BC），
又由于P（BC）=P（B）P（C），
所以：P（A（BC））=P（A）P（BC）=P（A）P（B）P（C）；
故当A与BC独立时，充分性成立．
其它三个选项都无法推出P（ABC）=P（A）P（B）P（C）；
故选：A．
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